[BOJ] 9020. 골드바흐의 추측 (math, number_theory, primality_test, 에라토스테네스의 체)

Silver II

https://www.acmicpc.net/problem/9020

9020번: 골드바흐의 추측

 

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

 

input:

• 첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.
• 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

 

output:

• 각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다.
• 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

 

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Idea :

• 소수 구하기
  • 골드바흐 추측은 2보다 큰 모든 짝수를 두 소수의 합으로 나타날 수 있다는 것
  • 짝수 n을 임의의 두 숫자의 합으로 나타낼 수 있다고 할 때, 그 두 숫자가 소수인지 아닌지 알 수 있어야 함
  • 미리 10000 이하의 모든 숫자에 대해 소수 여부를 체크
    
    • 2 이상 10000 이하의 수에 대해, 그 숫자가 소수일 경우 그 숫자의 모든 배수를 소수에서 제외시킴
• 두 소수의 차이가 가장 작은 골드바흐 파티션 구하기
  • 짝수 n을 두 수의 합으로 나타냈을 때, 그 두 수의 차이가 가장 작은 경우 → (n/2, n/2)
  • (n/2 - 1, n/2 + 1), (n/2 - 2, n/2 + 2)...
  • 두 수의 차이가 0인 (l=n/2, r=n/2)에서 l은 1씩 빼고, r은 1씩 더하며 l, r이 모두 소수가 되는 쌍을 찾는다

Code :   

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define maxN 10000
vector<bool> isPrime(maxN, true);

/* check_prime: maxN 이하의 수의 소수 여부를 구하는 함수 */
void check_prime() {
	for (int i=2; i < maxN; i++) {
		if (!isPrime[i]) continue;
		for (int j=i+i; j < maxN; j += i)
			isPrime[j] = false;
	}
}

/* solve: num의 골드바흐 파티션 중 두 소수의 차이가 가장 작은 파티션을 구하는 함수
 *
 * parametes - num: 골드바흐 파티션을 구하고자 하는 짝수
 * return - 골드바흐 파티션을 구성하는 두 소수 문자열, "소수1 소수2"
 */
string solve(int num) {
	int l = num / 2, r = num / 2;
	while (!(isPrime[l] && isPrime[r])) {
		l--; r++;
	}
	return to_string(l) + " " + to_string(r);
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
	// freopen("input.txt", "rt", stdin);

	check_prime();

	int TC; cin >> TC;
	while (TC--) {
		int num; cin >> num;
		cout << solve(num) << "\n";
	}
}

 

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Result : 

메모리: 2024 KB,  시간: 0 ms

 

Review :